線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

ステップ 1.2

サイズ $4$ の単位行列または恒等行列は $4 \times 4$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{4}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.9.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.10

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.10.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.10.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.12

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.12.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.12.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.13

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.13.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.13.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.14

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.14.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.14.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.15

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.15.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.15.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.7

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.10

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) (0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - λ) (1 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.2

$- λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2.2

$- λ$ から $λ$ を引きます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.2

$1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.2.2

$- 2 λ + λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (- 2 λ + λ^{2}) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.4.2.3

$- 2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.1

$0 + (2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.1.1

$0$ と $(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.1.2

$(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.2.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.2.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.2.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.3.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.2

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.3.1.2.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.2.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.3.1.2.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.4

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.3.1.4.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.4.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.3.2

$2 λ^{2}$ と $2 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (4 λ^{2} - 4 λ - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.4

$- 4 λ$ を移動させます。

$p (λ) = (2 - λ) (4 λ^{2} - λ^{3} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.5.5.5

$4 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$

ステップ 1.5.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1.1

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0$

ステップ 1.5.6.1.2

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0$

ステップ 1.5.6.1.3

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$

ステップ 1.5.6.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ を展開します。

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (4 λ^{2}) + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (4 λ^{2}) + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.5

指数を足して $λ$ に $λ^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.3.5.1

$λ^{3}$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.5.2

$λ^{3}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.3.5.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.5.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.7

$λ^{4}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.9

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.3.9.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.9.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.3.9.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{3} - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.10

$- 1$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - λ (- 4 λ)$

ステップ 1.5.6.3.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ$

ステップ 1.5.6.3.12

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.3.12.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ)$

ステップ 1.5.6.3.12.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2}$

ステップ 1.5.6.3.13

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$

ステップ 1.5.6.4

$- 2 λ^{3}$ から $4 λ^{3}$ を引きます。

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} + 4 λ^{2}$

ステップ 1.5.6.5

$8 λ^{2}$ と $4 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ + λ^{4}$

ステップ 1.5.6.6

$- 8 λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} + λ^{4} - 8 λ$

ステップ 1.5.6.7

$12 λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - 6 λ^{3} + λ^{4} + 12 λ^{2} - 8 λ$

ステップ 1.5.6.8

$- 6 λ^{3}$ と $λ^{4}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$λ$ を $λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

$λ$ を $λ^{4}$ で因数分解します。

$λ \cdot λ^{3} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

ステップ 1.7.1.1.2

$λ$ を $- 6 λ^{3}$ で因数分解します。

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

ステップ 1.7.1.1.3

$λ$ を $12 λ^{2}$ で因数分解します。

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (12 λ) - 8 λ = 0$

ステップ 1.7.1.1.4

$λ$ を $- 8 λ$ で因数分解します。

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

ステップ 1.7.1.1.5

$λ$ を $λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2})$ で因数分解します。

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

ステップ 1.7.1.1.6

$λ$ を $λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (12 λ)$ で因数分解します。

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

ステップ 1.7.1.1.7

$λ$ を $λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ) + λ \cdot - 8$ で因数分解します。

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8) = 0$

ステップ 1.7.1.2

有理根検定を用いて $λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 1.7.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 1.7.1.2.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.7.1.2.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.7.1.2.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.7.1.2.3.4

$- 6$ に $4$ をかけます。

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.7.1.2.3.5

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 1.7.1.2.3.6

$12$ に $2$ をかけます。

$- 16 + 24 - 8$

ステップ 1.7.1.2.3.7

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 1.7.1.2.3.8

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 1.7.1.2.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $λ - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8}{λ - 2}$

ステップ 1.7.1.2.5

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ を $λ - 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

ステップ 1.7.1.2.5.2

被除数 $λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$

ステップ 1.7.1.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $λ^{3} - 2 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

ステップ 1.7.1.2.5.7

被除数 $- 4 λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

ステップ 1.7.1.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

ステップ 1.7.1.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 λ^{2} + 8 λ$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

ステップ 1.7.1.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$

ステップ 1.7.1.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

ステップ 1.7.1.2.5.12

被除数 $4 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

ステップ 1.7.1.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							+	$4 λ$	-	$8$

ステップ 1.7.1.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 λ - 8$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$

ステップ 1.7.1.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$
										$0$

ステップ 1.7.1.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$λ^{2} - 4 λ + 4$

ステップ 1.7.1.2.6

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 4)) = 0$

ステップ 1.7.1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2^{2})) = 0$

ステップ 1.7.1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 λ = 2 \cdot λ \cdot 2$

ステップ 1.7.1.3.3

多項式を書き換えます。

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 1.7.1.3.4

$a = λ$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$λ ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

ステップ 1.7.1.4

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.4.1

$λ - 2$ を $1$ 乗します。

$λ ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

ステップ 1.7.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$λ {(λ - 2)}^{1 + 2} = 0$

ステップ 1.7.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$λ {(λ - 2)}^{3} = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ = 0$

${(λ - 2)}^{3} = 0$

ステップ 1.7.3

$λ$ が $0$ に等しいとします。

$λ = 0$

ステップ 1.7.4

${(λ - 2)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

${(λ - 2)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(λ - 2)}^{3} = 0$

ステップ 1.7.4.2

$λ$ について ${(λ - 2)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.1

$λ - 2$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 2 = 0$

ステップ 1.7.4.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$λ = 2$

ステップ 1.7.5

最終解は $λ {(λ - 2)}^{3} = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 0, 2$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$0$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.5

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.9

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.10

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.11

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.12

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.13

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.14

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.15

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.16

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.7

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.10

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.11

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.13

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.15

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.16

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} + x_{4} = 0$

$x_{3} = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - x_{4} \\ 0 \\ x_{4} \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{4} \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 2$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.10

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.11

$- 2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.12

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.13

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.14

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.15

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.16

$- 2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 2 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$1$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11

$2$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.15

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.16

$1$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{2} - x_{4} = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{1}, x_{3}, x_{4} \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例